Conteúdo liberado – Transformações trigonométricas

Fala, pessoal! Hoje iremos falar sobre as transformações trigonométricas, notadamente o Seno, o Cosseno e a Tangente. Essas transformações nos auxiliam, e muito, na resolução de questões. Ademais, esse tipo de conhecimento se torna mais importante em vestibulares e em concursos de admissão às Forças Armadas(Exército, Marinha e Aeronáutica).

Conceitos iniciais

Inicialmente, o seno, o cosseno e a tangente representam importantes funções no mundo da matemática, principalmente no campo da trigonometria. Essas relações nos auxiliam, a partir de um dado ângulo, a encontrarmos valores e comportamentos de determinadas variáveis. Todavia, o seno, cosseno e tangente apresentam diferentes visões quando aplicados em um triângulo retângulo ou quando aplicados no círculo trigonométrico.

No triângulo, o seno de um ângulo qualquer X equivale ao cateto(lado) oposto ao ângulo em referência dividido pela hipotenusa(cujo ângulo correspondente é o de 90º). Logo, Sen X = Cateto oposto/Hipotenusa.

Por sua vez, o cosseno equivale ao cateto(lado) adjacente ao ângulo em referência dividido pela hipotenusa. Logo, Cos X = Cateto adjacente/Hipotenusa.

Por fim, a tangente(Tg) de um ângulo X é o cateto oposto dividido pelo cateto adjacente. Ou, noutras palavras, Tg X = Sen X/ Cos X.

Obs. Na imagem acima considerem que o ângulo X corresponde ponto C do triângulo.

Função Seno

Vejam que aqui temos uma função sen x. Cada valor de X, com a sua imagem no círculo(pontos B,C, D, E, F e G) possui um correspondente na reta vertical(eixo das ordenadas grifado em vermelho). Nobres, não custa lembrar que símbolo(π) corresponde ao valor de 180º.

Assim, na imagem acima, vemos que quando o X vale (π)/6 ou 30º, o seu seno é 0,5 ou 1/2.

Função Cosseno

A função cosseno tem a estrutura bem parecida com a função seno. Ocorre que o correspondente ao ângulo no círculo tem seu equivalente no eixo das abcissas(eixo horizontal).

Por conseguinte, veja na imagem que o cosseno de (π)/3 ou 60º é justamente 0,5 ou 1/2.

Transformações trigonométricas importantes

Notadamente, essas transformações trigonométricas têm por objetivo prático transformar ângulos cujo seno, cosseno e tangente são desconhecidos em ângulos notáveis(30º, 45º, 60º), que possuem valores bem conhecidos.

Adição

Passados esse conceitos iniciais, vamos às transformações trigonométricas mais famosas.

Antes, porém, vamos considerar que: Sen = Seno, Cos = Cosseno e Tg = Tangente, ok?!

A primeira fórmula é a da adição:

Cos (a + b) = Cos a. cos b – Sen a . Sen b.

Ex. Qual o cosseno de 75º?

Cos(75º) = Cos (45º + 30º) = Cos 45º . Cos 30º – Sen 45º . Sen 30º

Assim, temos: √2/2. √3/2 – √2/2 . 1/2, Logo, Cos 75º = (√6 – √2)/4

Com a função seno, temos:

Sen(a + b) = Sena . Cos b + Sen b . Cos a

Ex. Qual o seno de 105º?

Sen 105º = Sen (60º + 45º)

Logo, Sen (60º + 45º)= Sen 60º . Cos 45º + Sen 45º . Cos 60º.

Isso perfaz (√6 + √2)/4.

Subtração

Do mesmo modo, podemos transformar ângulos a partir de operação de subtração.

Da função cosseno, temos:

Cos (a – b) = Cos a. Cos b + Sen a . Sen b

Da função seno, temos:

Sen(a – b) = Sen a . Cos b – Sen b . Cos a

Função tangente

Pessoal, só a título de complementação do conhecimento, vamos apresentar as transformações trigonométricas da função tangente também.

Na adição, temos:

tg(a + b) = (tg a + tg b)/(1 – tg a . tg b)

Na subtração, por sua vez:

tg(a – b) = (tg a – tg b)/(1 + tg a . tg b)

Vejam que o que difere a adição da subtração em TODAS as transformações são os jogos de sinais (mais e menos). Então, muita atenção!

Ex. Tangente de 75º

tg 75º = tg(45º + 30º)

tg(45º + 30º) = (1 + √3/3)/ (1 – 1.√3/3)

tg 75º = 2 + √3.

Aplicação dos conhecimentos sobre funções

Para finalizar, vamos comentar uma questão bem interessante que caiu no concurso da Controladoria Geral da União – Cargo de Técnico – aplicada pela FGV(Fundação Getúlio Vargas) em 2022:

Um avião percorria a trajetória reta XY da figura abaixo, de X para Y, quando o piloto percebeu turbulências à frente. Para evitá-las fez, no ponto A, um giro na trajetória para a esquerda e percorreu 10 km. No ponto B fez um giro de 53o para a direita e, ao percorrer mais 10 km, percebeu que tinha atingido o ponto C da trajetória inicial.

Dados:
Use o necessário,

sen37°=0,6
cos37°=0,8 e √5 = 2,24

A distância entre os pontos A e C é, aproximadamente?

Resolução:

Caros concurseiros, essa questão apresenta um bom nível de cobrança e aborda diversos temas.

Primeiramente veja que se o ângulo externo mede 53º, o ângulo interno ao triângulo mede 127º(180º – 53º).

Então, para descobrirmos a distância de A até C, podemos aplicar a lei dos cossenos nesse triângulo! Nobres, já detalhamos essa LEI dos Cossenos em artigo anterior (Nobres, perdoe-me pela gafe, mas nesse artigo eu citei/inverti incorretamente os valores do seno e cosseno de 90º, bem como o de180º- Assim, o correto seno de 90º é 1 e o cosseno de 90º é 0. Já o seno de 180º é 0 e o cosseno é -1).

Vamos chamar a distância AC de X.

Logo, X²= 10² + 10²−2.10.10.cos127º.

Porém aqui temos um problema: Como saber o Cosseno de 127º??

Para isso, vamos usar o conhecimento adquirido aqui acerca de transformações trigonométricas. Veja que 127º = 90º + 37º. Olhem que a questão forneceu o Sen 37º(Bingo!!!).

Vamos aplicar a transformação do Cosseno:

Cos 127º = Cos (90º + 37º) = Cos 90º . Cos 37º – Sen 37º . Sen 90º

Sabe-se que 90º é um ângulo notável que possui Cosseno = 0 e seno = 1

Assim, Cos(90º + 37º) = 0 . Cos 37º – 0,6 . 1

Cos(90º + 37º) = – 0,6

Aí, é só “correr para o abraço”.

X²= 10² + 10²−2.10.10.cos127º:

X²= 10² + 10²−2.10.10.(-0,6)

X² = 320

X = √320, que fatorando vale: 8√5

Como foi dado na questão que √5 = 2,24, temos que a distância AC = 8.2,24 = 17,92km(GABARITO).

Conclusão

Então é isso, nobres. Chegamos ao fim de mais um artigo que abordou, desta vez, as transformações trigonométricas e o quão são importantes para a resolução de questões. Fizemos questão de mostrar em detalhes as funções do seno e cosseno pois são, de longe, as mais cobradas. Esperamos que tenha sido de grande valia.

Bons Estudos!

Quer estar antenado aos próximos concursos previstos? Confira nossos artigos!

Concursos Abertos

Concursos 2024